พาราโบลา

posted on 20 Jul 2008 13:34 by micle555 in Math

สมการพาราโบลา

พาราโบลา (Parabola) คือ กราฟของสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ x เป็นจำนวนจริง ใด ๆ a, b, c เป็นค่าคงที่ และ a ≠ 0

สมการ y = ax2 + bx + c ถ้า a = 0 จะได้สมการอยู่ในรูป y = bx + c ซึ่งเป็นสมการ เชิงเส้นที่มีกราฟเป็นเส้นตรง เช่น y = 3x – 3 , y = 743+x

ดังนั้นในการกำหนดสมการพาราโบลาในรูปทั่วไป คือ y = ax2 + bx + c ต้องกำหนดด้วยว่า a ≠ 0 แต่ b, c อาจเป็น 0 ได้ ดังนี้

1. ถ้า b = 0 จะได้สมการอยู่ในรูป y = ax2 + c เช่น            y = 3x2 - 6, y = 7432+x

2. ถ้า c = 0 จะได้สมการอยู่ในรูป y = ax2 + bx เช่น           y =  -3x2 + 4x

3. ถ้า b = 0 และ c = 0 พร้อมกัน จะได้สมการในรูป y = ax2 เช่น y = 4x2 ,y = -3x2

*** กราฟของสมการของพาราโบลา เรียกว่า พาราโบลา

สิ่งต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับพาราโบลา

1. จุดยอด (vertex) คือ พิกัด (x , y) ใด ๆ ที่เส้นกราฟเริ่มวกกลับ (จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด)

2. ค่าสูงสุด คือ ค่าของ y ที่จุดสูงสุดของกราฟ

3. ค่าต่ำสุด คือ ค่าของ y ที่จุดต่ำสุดของกราฟ

4. แกนสมมาตร (Axis of Symmetry) คือ เส้นตรงที่ผ่านจุดยอดขนานกับแกน y โดยที่ เมื่อพับกราฟตามแนวเส้นตรงนี้แล้ว กราฟจะทับกันได้สนิท

ลักษณะกราฟของพาราโบลา

1. พาราโบลาหงาย   มีลักษณะเป็นรูปโค้งเหมือนถ้วยหงาย (เมื่อ a > 0)

2. พาราโบาลาคว่ำ   มีลักษณะเป็นรูปโค้งเหมือนถ้วยคว่ำ (เมื่อ a < 0)

พาราโบลาที่สมการอยู่ในรูป y = ax2 เมื่อ a 0

จากสมการของพาราโบลา y = ax2 + bx + c ถ้าพิจารณาในประเด็นที่ว่า b = 0 และ c = 0 สมการของพาราโบลาดังกล่าวจะอยู่ในรูป y = ax2 เมื่อ a 0

 

กรณีที่ 1 เมื่อ a > 0 จะแยกเป็น 2 กรณี เมื่อ a = 1 และ    a 1

ถ้า a = 1 จะได้สมการเป็น y = x2

ถ้า a 1 จะได้สมการเป็น y = ax2

เช่น y = 2x2 , y = x2 , y = 21x2 , y = x2 เป็นต้น

 

กรณีที่ 2 เมื่อ a < 0 จะแยกเป็น 2 กรณี เมื่อ a = -1 และ a -1

ถ้า a = -1 จะได้สมการเป็น y = -x2

ถ้า a -1 จะได้สมการเป็น y = -ax2

เช่น y = -2x2 , y = -4x2 , y = -21x2 , y = -x2 เป็นต้น

 

 

 

 

 

วิธีการเขียนกราฟของสมการ y = ax2

 

1. เขียนตารางแล้วกำหนดจำนวนจริงแทนค่าของ x

 

2. แทนค่าของ x ที่กำหนดขึ้นในสมการจะได้ค่าของ y แล้วเติมในตารางให้ครบ

 

3. นำคู่อันดับ (x, y) ที่ได้ในตารางไปเขียนลงบนกระดาษกราฟแล้วลากเส้นโค้งเชื่อม

 

จะได้กราฟพาราโบลา ตามสมการนั้น

ลักษณะของกราฟ y = ax2

1. แกนสมมาตรของกราฟคือเส้นตรง x = 0 หรือแกน y

2. ถ้า a > 0 จะได้กราฟพาราโบลาหงาย และให้จุดยอดเป็นจุดต่ำสุดที่จุด (0, 0)

และให้ค่าต่ำสุด คือ y = 0

3. ถ้า a < 0 จะได้กราฟพาราโบลาคว่ำ และให้จุดยอดเป็นจุดสูงสุดที่จุด (0, 0)

และให้ค่าสูงสุด คือ y = 0

 พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2 + c เมื่อ a และ c 0

พาราโบลาที่