พาราโบลา

posted on 20 Jul 2008 13:34 by micle555 in Math

สมการพาราโบลา

พาราโบลา (Parabola) คือ กราฟของสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ x เป็นจำนวนจริง ใด ๆ a, b, c เป็นค่าคงที่ และ a ≠ 0

สมการ y = ax2 + bx + c ถ้า a = 0 จะได้สมการอยู่ในรูป y = bx + c ซึ่งเป็นสมการ เชิงเส้นที่มีกราฟเป็นเส้นตรง เช่น y = 3x – 3 , y = 743+x

ดังนั้นในการกำหนดสมการพาราโบลาในรูปทั่วไป คือ y = ax2 + bx + c ต้องกำหนดด้วยว่า a ≠ 0 แต่ b, c อาจเป็น 0 ได้ ดังนี้

1. ถ้า b = 0 จะได้สมการอยู่ในรูป y = ax2 + c เช่น            y = 3x2 - 6, y = 7432+x

2. ถ้า c = 0 จะได้สมการอยู่ในรูป y = ax2 + bx เช่น           y =  -3x2 + 4x

3. ถ้า b = 0 และ c = 0 พร้อมกัน จะได้สมการในรูป y = ax2 เช่น y = 4x2 ,y = -3x2

*** กราฟของสมการของพาราโบลา เรียกว่า พาราโบลา

สิ่งต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับพาราโบลา

1. จุดยอด (vertex) คือ พิกัด (x , y) ใด ๆ ที่เส้นกราฟเริ่มวกกลับ (จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด)

2. ค่าสูงสุด คือ ค่าของ y ที่จุดสูงสุดของกราฟ

3. ค่าต่ำสุด คือ ค่าของ y ที่จุดต่ำสุดของกราฟ

4. แกนสมมาตร (Axis of Symmetry) คือ เส้นตรงที่ผ่านจุดยอดขนานกับแกน y โดยที่ เมื่อพับกราฟตามแนวเส้นตรงนี้แล้ว กราฟจะทับกันได้สนิท

ลักษณะกราฟของพาราโบลา

1. พาราโบลาหงาย   มีลักษณะเป็นรูปโค้งเหมือนถ้วยหงาย (เมื่อ a > 0)

2. พาราโบาลาคว่ำ   มีลักษณะเป็นรูปโค้งเหมือนถ้วยคว่ำ (เมื่อ a < 0)

พาราโบลาที่สมการอยู่ในรูป y = ax2 เมื่อ a 0

จากสมการของพาราโบลา y = ax2 + bx + c ถ้าพิจารณาในประเด็นที่ว่า b = 0 และ c = 0 สมการของพาราโบลาดังกล่าวจะอยู่ในรูป y = ax2 เมื่อ a 0

 

กรณีที่ 1 เมื่อ a > 0 จะแยกเป็น 2 กรณี เมื่อ a = 1 และ    a 1

ถ้า a = 1 จะได้สมการเป็น y = x2

ถ้า a 1 จะได้สมการเป็น y = ax2

เช่น y = 2x2 , y = x2 , y = 21x2 , y = x2 เป็นต้น

 

กรณีที่ 2 เมื่อ a < 0 จะแยกเป็น 2 กรณี เมื่อ a = -1 และ a -1

ถ้า a = -1 จะได้สมการเป็น y = -x2

ถ้า a -1 จะได้สมการเป็น y = -ax2

เช่น y = -2x2 , y = -4x2 , y = -21x2 , y = -x2 เป็นต้น

 

 

 

 

 

วิธีการเขียนกราฟของสมการ y = ax2

 

1. เขียนตารางแล้วกำหนดจำนวนจริงแทนค่าของ x

 

2. แทนค่าของ x ที่กำหนดขึ้นในสมการจะได้ค่าของ y แล้วเติมในตารางให้ครบ

 

3. นำคู่อันดับ (x, y) ที่ได้ในตารางไปเขียนลงบนกระดาษกราฟแล้วลากเส้นโค้งเชื่อม

 

จะได้กราฟพาราโบลา ตามสมการนั้น

ลักษณะของกราฟ y = ax2

1. แกนสมมาตรของกราฟคือเส้นตรง x = 0 หรือแกน y

2. ถ้า a > 0 จะได้กราฟพาราโบลาหงาย และให้จุดยอดเป็นจุดต่ำสุดที่จุด (0, 0)

และให้ค่าต่ำสุด คือ y = 0

3. ถ้า a < 0 จะได้กราฟพาราโบลาคว่ำ และให้จุดยอดเป็นจุดสูงสุดที่จุด (0, 0)

และให้ค่าสูงสุด คือ y = 0

 พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2 + c เมื่อ a และ c 0

พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2 + c จะแบ่งพิจารณาได้เป็น 2 กรณี คือ

กรณีที่ 1 ค่า a > 0 เช่น y = 2x2 + 2 , y = x2 - 3, y = 21x2 + 2

 

 

กราฟที่ได้จะมีลักษณะดังนี้

 

1. เป็นกราฟพาราโบลารูปหงาย

2. จุดต่ำสุดของกราฟคือ จุด (0, c)

3. เส้นตรง x = 0 เป็นแกนสมมาตรของกราฟ

4. ค่าต่ำสุดของของ y คือค่า c

กรณีที่ 2 ค่า a < 0 เช่น y = -4x2 + 1 , y = -x2 - 2, y = -21x2 - 3

กราฟที่ได้จะมีลักษณะดังนี้

 

1 เป็นกราฟพาราโบลารูปคว่ำ

2. จุดสูงสุดของกราฟคือ จุด (0, c)

3. เส้นตรง x = 0 เป็นแกนสมมาตรของกราฟ

4. ค่าสูงสุดของของ y คือค่า c

พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ y = (x – h)2 + k เมื่อ a และ h 0

4.1 กรณีที่ 1 เมื่อ a และ h ≠ 0 แต่ k = 0 จะได้สมการในรูป y = a(x – h)2

กราฟที่ได้มีลักษณะดังนี้

 

1. เป็นกราฟพาราโบลารูปหงาย

 

2. จุดต่ำสุด (จุดยอด) ของกราฟพิจารณาจาก (x – h)2 ถ้าระหว่าง x และ h

เป็นลบจุดต่ำสุดของกราฟ คือ (h, 0) ถ้าระหว่าง x และ h เป็นบวก

จุดต่ำสุดของกราฟคือ (-h, 0)

3. จุดยอดเคลื่อนที่อยู่บนแกน x

4. สมการแกนสมมาตรคือ x = h

 

Comment

Comment:

Tweet

เข้าใจมากครับแต่จัดระเบียบการเขียนหน่อยครับopen-mounthed smile sad smile sad smile confused smile big smile

#93 By (58.11.23.73|58.11.23.73) on 2014-08-19 20:53

ไปตาย

#92 By (182.93.211.39|182.93.211.39) on 2014-03-13 09:06

ความจริงแล้วถ้าตั้งใจอ่านดีๆ เราว่ารู้เรื่องนะbig smile

#91 By สู้ๆ (103.7.57.18|171.7.119.59) on 2012-09-26 19:12

ดีจังเข้าจัยงายด้ย

#90 By ilovetitle2011@hotmail.com (103.7.57.18|1.47.34.235) on 2012-06-17 14:38

open-mounthed smile น่าอ่านดีค่ อิอิ

#89 By mild (27.55.7.111) on 2012-04-09 10:53

ตัวหนังสืออ่านไม่ค่อยชัด

#88 By 00y (192.168.212.126, 203.172.168.97) on 2012-02-02 14:47

....................no coment.......................sad smile sad smile sad smile sad smile sad smile sad smile sad smile

#87 By someone (171.4.75.189) on 2011-11-04 12:12

ขอให้พระบาทสมเด็จพระเจ้าอยู่หัวทรงมีพลานามัยแข็งแรงสมบูรณ์
นศท.ผดุงเกียรติ ครุฑวิสัย

#86 By นศท.ผดุงเกียรติ ครุฑวิสัย (118.173.23.46) on 2011-10-17 22:27

ขอให้พระบาทสมเด็จพระเจ้าอยู่หัวทรงมีพลานามัยแข็งแรงสมบูรณ์
นศท.อมรเทพ สุนทรหงษ์

#85 By นศท.อมรเทพ สุนทรหงษ์ (118.173.23.46) on 2011-10-17 22:22

งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งงงง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง งง sad smile sad smile sad smile sad smile sad smile sad smile sad smile sad smile

#84 By joy (223.205.81.21) on 2011-10-11 18:13

ก็พอเข้าใจนะแต่ งง นิดนึง:p

#83 By toung (210.1.31.28) on 2011-09-29 19:19

ก็ดีถ้าสนใจจริงๆๆbig smile big smile big smile open-mounthed smile sad smile confused smile

#82 By อริสรา (110.49.251.79) on 2011-09-21 20:02

สุดๆๆอ๊

#81 By net (118.174.23.218) on 2011-08-31 11:04

มันมั่วอ่านยากมากๆๆๆๆๆๆๆsad smile sad smile

#80 By KUKKIK (125.26.143.229) on 2011-07-03 21:53

Thank you. So mush. ^_^"

#79 By Ton (124.122.174.179) on 2011-05-15 22:03

[b]ของงได้มั้ยอ่ะ
wink sad smile confused smile open-mounthed smile big smile

#78 By cookie (203.148.216.61) on 2011-04-05 19:32

ขอบคุณมากครับ

#77 By 555 (223.207.90.161) on 2011-03-08 10:45

ขอบคุณมากครับ

#76 By 555+ (223.207.90.161) on 2011-03-08 10:32

โหยยย
ละเอียดแล๊วว
ก็อปได้อีกด้วย
ขอบคุณหลาย ๆ เน้ออ

#75 By สุรชัย (118.174.176.111) on 2011-03-02 10:40

นัยเมื่อเข้าทาแร้วอ่ะ อ่านไม่ออก หรือออกก้ม่ายน้าจาด่าเรยง่ะsurprised smile แต่งัยก็ขอบคุงน๊คร๊าฟฟฟฟฟฟฟฟฟ

#74 By เมโลดี้ (203.113.100.178) on 2010-12-25 18:34

อ่านม่ายยยยยยออกอะsad smile

#73 By .... (125.25.144.87) on 2010-12-12 17:26

เขียนไม่รู้เรื่อง งง งง งง งงมากกกกๆๆๆๆๆๆๆๆembarrassed embarrassed embarrassed tongue tongue angry smile angry smile surprised smile [b]

#72 By แนน (125.27.139.108) on 2010-11-19 12:57

uTt4To <a href="http://acknesrctkvn.com/">acknesrctkvn</a>, [url=http://osdadzofgdfp.com/]osdadzofgdfp[/url], [link=http://alchnjpxoidb.com/]alchnjpxoidb[/link], http://zkfnwcbhvwav.com/

#71 By epazmaducqw (203.121.36.51) on 2010-10-20 04:57

open-mounthed smile confused smile embarrassed cry

#70 By (119.31.121.89) on 2010-10-16 19:57

open-mounthed smile confused smile embarrassed cry

#69 By (119.31.121.89) on 2010-10-16 19:56

ไม่เข้าใจเลยค่ะangry smile

#68 By pure (113.53.202.189) on 2010-10-07 21:56

สมการพาราโบลา

พาราโบลา (Parabola) คือ กราฟของสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ x เป็นจำนวนจริง ใด ๆ a, b, c เป็นค่าคงที่ และ a ≠ 0

สมการ y = ax2 + bx + c ถ้า a = 0 จะได้สมการอยู่ในรูป y = bx + c ซึ่งเป็นสมการ เชิงเส้นที่มีกราฟเป็นเส้นตรง เช่น y = 3x – 3 , y = 743+x

ดังนั้นในการกำหนดสมการพาราโบลาในรูปทั่วไป คือ y = ax2 + bx + c ต้องกำหนดด้วยว่า a ≠ 0 แต่ b, c อาจเป็น 0 ได้ ดังนี้

1. ถ้า b = 0 จะได้สมการอยู่ในรูป y = ax2 + c เช่น y = 3x2 - 6, y = 7432+x

2. ถ้า c = 0 จะได้สมการอยู่ในรูป y = ax2 + bx เช่น y = -3x2 + 4x

3. ถ้า b = 0 และ c = 0 พร้อมกัน จะได้สมการในรูป y = ax2 เช่น y = 4x2 ,y = -3x2

*** กราฟของสมการของพาราโบลา เรียกว่า พาราโบลา

สิ่งต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับพาราโบลา

1. จุดยอด (vertex) คือ พิกัด (x , y) ใด ๆ ที่เส้นกราฟเริ่มวกกลับ (จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุด)

2. ค่าสูงสุด คือ ค่าของ y ที่จุดสูงสุดของกราฟ

3. ค่าต่ำสุด คือ ค่าของ y ที่จุดต่ำสุดของกราฟ

4. แกนสมมาตร (Axis of Symmetry) คือ เส้นตรงที่ผ่านจุดยอดขนานกับแกน y โดยที่ เมื่อพับกราฟตามแนวเส้นตรงนี้แล้ว กราฟจะทับกันได้สนิท

ลักษณะกราฟของพาราโบลา

1. พาราโบลาหงาย มีลักษณะเป็นรูปโค้งเหมือนถ้วยหงาย (เมื่อ a > 0)

2. พาราโบาลาคว่ำ มีลักษณะเป็นรูปโค้งเหมือนถ้วยคว่ำ (เมื่อ a < 0)

พาราโบลาที่สมการอยู่ในรูป y = ax2 เมื่อ a ≠ 0

จากสมการของพาราโบลา y = ax2 + bx + c ถ้าพิจารณาในประเด็นที่ว่า b = 0 และ c = 0 สมการของพาราโบลาดังกล่าวจะอยู่ในรูป y = ax2 เมื่อ a ≠ 0



กรณีที่ 1 เมื่อ a > 0 จะแยกเป็น 2 กรณี เมื่อ a = 1 และ a ≠ 1

ถ้า a = 1 จะได้สมการเป็น y = x2

ถ้า a ≠ 1 จะได้สมการเป็น y = ax2

เช่น y = 2x2 , y = x2 , y = 21x2 , y = x2 เป็นต้น



กรณีที่ 2 เมื่อ a < 0 จะแยกเป็น 2 กรณี เมื่อ a = -1 และ a ≠ -1

ถ้า a = -1 จะได้สมการเป็น y = -x2

ถ้า a ≠ -1 จะได้สมการเป็น y = -ax2

เช่น y = -2x2 , y = -4x2 , y = -21x2 , y = -x2 เป็นต้น











วิธีการเขียนกราฟของสมการ y = ax2



1. เขียนตารางแล้วกำหนดจำนวนจริงแทนค่าของ x



2. แทนค่าของ x ที่กำหนดขึ้นในสมการจะได้ค่าของ y แล้วเติมในตารางให้ครบ



3. นำคู่อันดับ (x, y) ที่ได้ในตารางไปเขียนลงบนกระดาษกราฟแล้วลากเส้นโค้งเชื่อม



จะได้กราฟพาราโบลา ตามสมการนั้น

ลักษณะของกราฟ y = ax2

1. แกนสมมาตรของกราฟคือเส้นตรง x = 0 หรือแกน y

2. ถ้า a > 0 จะได้กราฟพาราโบลาหงาย และให้จุดยอดเป็นจุดต่ำสุดที่จุด (0, 0)

และให้ค่าต่ำสุด คือ y = 0

3. ถ้า a < 0 จะได้กราฟพาราโบลาคว่ำ และให้จุดยอดเป็นจุดสูงสุดที่จุด (0, 0)

และให้ค่าสูงสุด คือ y = 0

พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2 + c เมื่อ a และ c ≠ 0

พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2 + c จะแบ่งพิจารณาได้เป็น 2 กรณี คือ

กรณีที่ 1 ค่า a > 0 เช่น y = 2x2 + 2 , y = x2 - 3, y = 21x2 + 2





กราฟที่ได้จะมีลักษณะดังนี้



1. เป็นกราฟพาราโบลารูปหงาย

2. จุดต่ำสุดของกราฟคือ จุด (0, c)

3. เส้นตรง x = 0 เป็นแกนสมมาตรของกราฟ

4. ค่าต่ำสุดของของ y คือค่า c

กรณีที่ 2 ค่า a < 0 เช่น y = -4x2 + 1 , y = -x2 - 2, y = -21x2 - 3

กราฟที่ได้จะมีลักษณะดังนี้



1 เป็นกราฟพาราโบลารูปคว่ำ

2. จุดสูงสุดของกราฟคือ จุด (0, c)

3. เส้นตรง x = 0 เป็นแกนสมมาตรของกราฟ

4. ค่าสูงสุดของของ y คือค่า c

พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ y = (x – h)2 + k เมื่อ a และ h ≠ 0

4.1 กรณีที่ 1 เมื่อ a และ h ≠ 0 แต่ k = 0 จะได้สมการในรูป y = a(x – h)2

กราฟที่ได้มีลักษณะดังนี้



1. เป็นกราฟพาราโบลารูปหงาย



2. จุดต่ำสุด (จุดยอด) ของกราฟพิจารณาจาก (x – h)2 ถ้าระหว่าง x และ h

เป็นลบจุดต่ำสุดของกราฟ คือ (h, 0) ถ้าระหว่าง x และ h เป็นบวก

จุดต่ำสุดของกราฟคือ (-h, 0)

3. จุดยอดเคลื่อนที่อยู่บนแกน x

4. สมการแกนสมมาตรคือ x = h

ก๊อบมาให้ดูและนะ อ่านใหม่ก้ได้ค่ะ

#67 By นักเรียนม.ต้นที่ต้องทำความเข้าใจกับพาราโบลา (182.52.26.98) on 2010-10-06 20:36

ลอง กด F5 ก็ก๊อบได้แล้ว ก๊อบแล้วค่อยไปอ่านใน เวิร์ดเอาก็ได้
ขอบคุนสำหรั่บเนื้อหาดีๆนะคะ

#66 By นักเรียนม.ต้นที่ต้องทำความเข้าใจกับพาราโบลา (223.205.34.97) on 2010-10-06 20:29

เราขอโทดนะเราก็อบได้ละ

ขอโทดที่ด่านะ

อย่าโกรธกันนะจุ๊บปิ๊

#65 By อั๋น (222.123.74.56) on 2010-10-04 18:21

สัสมึงเอาเหี้ยไรมาให้กูอ่าน

เย็ดครก

สัสพ่อมึงหรอ


มึงมาทิ่มกะกูเรยมาท่าทามอย่างนี้

เย้ดแม่กวนส้นตีนสัส
เหี้ย

#64 By อั๋น (222.123.74.56) on 2010-10-04 18:17

อ่อเหี้ยเอามาแบบนี้

กุจะรู้รื่องมั้ยสัส

#63 By รัฐพงศ์ (117.47.206.185) on 2010-10-03 14:56

ไ อ สัด กุอ่านไม่ออกโว้ย

#62 By กก (58.8.47.32) on 2010-09-27 06:40

Lหมืouกับกูจะรู้เรื่oง

#61 By jifjikgh (58.8.47.32) on 2010-09-27 06:39

จะทำให้รู้เรื่องขึ้นรึป่าว ?
เนี่ยย..confused smile

#60 By อ่ะนะ (58.8.227.231) on 2010-09-26 12:30

ช่วยพิมตัวหนังสือดีๆๆๆหน่อยembarrassed embarrassed

#58 By นุกนิก (110.49.193.107) on 2010-09-23 18:02

จะสอบแล้วอ่ายังไม่รุเรื่องเลย

#57 By quistion (125.25.132.15) on 2010-09-21 20:56

หนูก้อยังไม่ได้เรียนเรื่องนี้เลยค่ะ
(เพราะหนูเพิ่งอยู่ม.1เอง)
แต่พอมาอ่านในเว้บนี้แล้วก้อเข้าใจเลยละค่ะ

ขอบคุณมากนะค่ะbig smile question cry

#56 By (124.122.135.35) on 2010-09-16 07:08

ยากจังอ่ะsad smile sad smile sad smile sad smile confused smile confused smile confused smile big smile big smile big smile big smile cry cry cry cry cry cry

#55 By pech (119.31.126.71) on 2010-09-14 18:44

ชั่งมีสาระจริงๆ

#54 By รึรัระ (118.173.149.45) on 2010-09-12 21:39

ไม่หน้าเชื่อ

#53 By (27.130.16.209) on 2010-09-12 20:01

เรื่องนี้กูเรียนไม่รู้เรื่องbig smile open-mounthed smile confused smile sad smile angry smile tongue

#51 By กิม (118.173.185.143) on 2010-09-04 14:50

เรื่องนี้กูเรียนไม่รู้เรื่องbig smile open-mounthed smile confused smile sad smile angry smile tongue

#51 By กิม (118.173.185.143) on 2010-09-04 14:50

เรื่องนี้กูเรียนไม่รู้เรื่อง

#49 By กิม (118.173.185.143) on 2010-09-04 14:49

เรื่องนี้กูเรียนไม่รู้เรื่อง

#50 By กิม (118.173.185.143) on 2010-09-04 14:49

เรื่องนี้กูเรียนไม่รู้เรื่อง

#48 By กิม (118.173.185.143) on 2010-09-04 14:49

เรื่องนี้กูเรียนไม่รู้เรื่อง

#47 By กิม (118.173.185.143) on 2010-09-04 14:49

==;





โครตงงเลย

#46 By (119.31.126.75) on 2010-08-28 22:08

ไม่รู้เรื่องเลย
เสียเวาลาจริง
ๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ

#45 By สวย (1.47.79.215) on 2010-08-18 18:13

ไม่รู้เรื่อง บรรทัดมันซ้อนกันไปหมด อ่านไม่ออก
ถ้ายังมีสมองก็แก้ซะด้วย

.
.
ควาย !

#44 By comeback! (118.172.174.108) on 2010-07-31 19:41